过年好啊朋友们！

在2023年1月21日除夕之前，我们成功地将曲线积分的基本理论介绍完了。时隔几天，我们终于要进一步介绍曲线积分的内容了！

(资料图)

曲线积分的内容实际上是十分重要的，不只是在自然科学的研究中有着不可替代的地位，在数学的其他领域也是有着一定的应用的。例如，数学分析的承接课程——复变函数论（复分析）当中，十分重要的部分就是复变函数的积分。实际上，复变函数的积分就是沿着二维平面上一条曲线的曲线积分，只不过由于对复变函数的定义以及复数域的特殊性，复变函数的积分有着与一般实变函数所不一样的优良性质。

处理曲线积分的一个十分重要的工具，就是我们接下来要介绍的——

Chapter  Eleven  曲线积分

11.3  Green公式

我们考虑一类特殊的平面曲线——闭曲线（起点和终点重合的曲线）上的曲线积分，来探究这种曲线上的曲线积分有着什么样的特殊性质，对于我们研究其他问题（计算或者证明等等）又有什么样的帮助。这里我们指出，我们所研究的闭曲线都是平面上的简单闭曲线。所谓简单闭曲线，大致来讲就是说除了起点和终点重合以外，在曲线上的其他任意一点处都不“自交”。“8”字形曲线就不是简单闭曲线。

我们首先研究简单闭曲线中的特殊曲线，它是如下区域的边界：

其中，

我们在介绍第二型曲线积分的时候介绍过，曲线在一定情况下是可定向并且需要定向的，对于闭曲线，定向更是有着重要意义。

我们知道，我们之前给非闭曲线定向时提出，曲线的定向是由起点指向终点。但是，对于闭曲线而言，这种定向方式显然不再合适，因为我们在曲线上任意取不同的两点，规定好起点和终点之后，由起点指向终点总有两种方向，这时定向就出现了歧义。

所以我们选择另一种定向方式，这种定向方式不仅不会引起歧义，还便于我们理解。

我们假定一个人走在我们上述划定的曲线上，如果区域总在这个人的左手边，我们就称这个在这条曲线上走的方向是正向的；反之就说是逆向的。这种定向我们称之为诱导定向。

之所以说这种定向方式好理解，就是因为一般而言，通过这种定向方式定出来的正向一般而言都是逆时针；反之则一般都是顺时针。这样，绝大多数情况的定向问题都不需要考虑太多。

简单计算可得：

类似地，对另一类区域：

的边界，我们有：

对于较为适用的例子，一般而言，我们总能将区域分别划分成这两类区域的并（划分两次），并且每种划分的子区域之间没有公共内点。于是，就有以下表达式成立：

这就是Green公式。

更一般情形的Green公式表述如下：

设是由有限条分段光滑的曲线围成的闭区域，如果函数和在上连续，且和也连续，则有：

其中，左侧的曲线积分取诱导正向。

为了进一步揭示Green公式的重要意义，我们接下来给出有关曲线积分的一个重要结论——曲线积分与路径无关的条件。这一结论在有关场的数学（即物理学中的场论所涉及到的数学）部分有着很重要的作用。

何为曲线积分与路径无关？我们知道，曲线积分是分布在曲线上的性质的连续和。对于第一型曲线积分而言，由于定义中的被积元素为弧长元素，这是曲线的特征元素，不同曲线之间这一元素会有差异；而对于第二型曲线积分来说，曲线决定了向量场作用的轨迹。更何况，两类曲线积分是有一定的联系的，因此无论是哪一类曲线积分，本质上一定是受积分曲线影响的。如果我们固定积分曲线的起点和终点，任意选择这两点之间的曲线作为积分路径，积分结果不会受到所选择的积分曲线影响，我们就说曲线积分与路径无关。

曲线积分与路径无关，一定程度上来讲是平面区域的性质。

我们定义：

设是一平面区域，如果任意该区域中的简单闭曲线所围成的有界区域都是该区域的子区域，则称该区域为单连通区域；否则称为多连通区域（或复连通区域）。

简单理解，就是说复连通区域实际上是有“洞”的区域。

在单连通区域中，如果曲线积分与路径无关，那么对任意两条积分曲线和，都有：

我们记为的逆向曲线，则有：

显然，和构成一闭曲线，记为。我们假设这一闭曲线是简单的，就有：

如果曲线自交，我们可以在交点处分段，将其分割成几个简单闭曲线。如此，结论也是成立的。

由Green公式，我们知道：

由偏导数的性质，我们可以想到，上述两个偏导数或许可以作为某一二元函数的二阶混合偏导数，即：

于是，曲线积分与路径无关的条件可以表述为：

设是一平面单连通区域，均在其上连续。则以下叙述等价：

（1）对任意由分段连续可微的闭曲线，有：

（2）对于中相同起点和重点的任意两条分段连续可微的曲线，有：

（3）存在上的连续可微函数，满足：

（此时，称为等号右侧微分式的原函数）

（4）在上，有：

只需证明即可，这样就可以完整构成逻辑环。（命题1）

对于复连通区域，情况略有不同。

我们指出，条件中的前三条实际上是等价的，而且前提条件可以一定程度上进行弱化：

设是一平面多连通区域，均在其上连续。则以下叙述等价：

（1）对任意由分段连续可微的闭曲线，有：

（2）对于中相同起点和重点的任意两条分段连续可微的曲线，有：

（3）存在上的连续可微函数，满足：

（1）与（2）等价是显然的，（2）到（3）的证明实际上与单连通区域无异。只需证明由（3）到（2）即可。（命题2）

一般而言，条件（4）与其他三个不再等价多数是因为Green公式不再成立。下面这个例子就能很好的看出这一点。

例：计算曲线积分

其中，是任意一条包围原点的简单闭曲线。

我们先来研究一类特殊的——中心在原点处，半径为r的圆周。

直接计算可得：

若记：

直接计算得到：

由Green公式，应该有：

这两个结果之间矛盾了，这说明Green公式此时失效了。这是为什么呢？

这就要追溯到Green公式的使用条件上了。请注意，Green公式在使用时，对函数及其偏导数的连续性有所限制，它要求它们都要在区域内连续。而显然，在原点处，它们都不连续。因此Green公式不再适用。

但是另一方面，Green公式的使用并不限制区域的类型。（从我们对Green公式的叙述当中不难发现这一点。）如果所求曲线积分是多连通区域的边界，Green公式其实也是可以使用的。我们以这道例题的最终解答为例来展示这一点：

可以看到，我们在第一步在由和围成的多连通区域上使用了Green公式，而最终我们也得到了合理的结果。

通过此例我们可以看到，条件（4）与其他三个条件在区域为多连通区域时不再等价多半是因为在复连通区域的“洞”附近函数性质不再满足Green公式的前提条件。由此我们也可以看出，如果一个多连通区域可以在不影响被积函数和特定偏导数连续性的情况下被扩张为一个单连通区域（就是将“洞”填补上），则此时Green公式条件依然满足。

Chapter  Eleven  曲线积分

11.4  等周问题

这一部分我们将利用曲线积分的知识，来解决一个古老的数学问题——等周问题。

所谓等周问题，其实是在问，在周长相等的一切封闭曲线当中，什么样的曲线所围成的图形的面积具有最大值？从我们的经验和数学直觉当中，不难想到，这样的曲线应该是圆周，所围成的图形应该是圆。

这一部分不是重点，但是为了大家能对曲线积分有一些更深入的认识，我还是选择将这一部分展示给大家。不过，为了节省篇幅，展示形式选择使用图片~

思考：

证明命题1；

证明命题2；

计算下列曲线积分：

（1）

（2）

（3）

证明：平面区域的面积满足：

查阅了解并尝试自行证明平面上的第二Green公式；

设周长为的任意封闭曲线所围成的封闭区域的面积为。证明：

当且仅当为圆周时取等；

证明：周长一定的四边形当中正方形面积最大

最後の最後に、ありがとうございました！